ondas estacionarias

Ondas estacionarias en una cuerda fija en sus extremos. Modos de vibración

En una onda viajera se pueden ondas con la  que queramos, modificando la frecuencia de vibración.
Si consideramos hora una cuerda de longitud L, fija en sus extremos, encontraremos que la cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración , cada uno de los cuales tendrá su frecuencia (y su ) característica.
Para este caso, los extremos fijos serán nodos, debe cumplirse que la longitud de la cuerda (L) sea igual a un número entero de semilongitudes de onda:
n=1,2,3.....

Dicho de otro modo el número de medias longitudes de onda contenidas en la longitud de la cuerda ha de ser un número entero:


En efecto si los extremos de la cuerda cumplen x=0 y x=L (condiciones de contorno), y como la separación entre dos nodos es media longitud de onda, debe haber un número entero de semilongitudes de onda que se ajuste a la longitud de la cuerda. Una onda de este tipo no puede, pues, tener cualquier longitud de onda. Sólo serán posibles aquellos valores que satisfagan las condiciones de contorno. Se dice que la longitud de onda de estas ondas estacionarias está cuantizada.
Las posibles longitudes de onda cumplirán la condición:



Por tanto las posibles longitudes de onda son:

Para n=1  El primer modo de vibración es aquel en el que la longitud de la cuerda se media longitud de onda.
Para n=2  Para el segundo modo de vibración (un nodo en el centro) la longitud de la cuerda coincide con la longitud de onda.
Para n=1 Para el tercer modo L=3/2

Fig. I


Como la frecuencia y la longitud de onda están relacionadas con la velocidad de propagación, podemos hallar las frecuencias que puede tener la onda (que también estarán cuantizada) mediante:




Estos posibles valores de la frecuencia reciben el nombre de frecuencias naturales.
La frecuencia más baja, correspondiente a n=1, se conoce como la frecuencia fundamental, corresponde al primer armónico.


Las frecuencias naturales pueden expresarse como múltiplos enteros de la fundamental.

fn=nf1 n=1,2,3.....

El segundo armónico será:


El tercer armónico:



Por lo tanto, una vez encontrada la frecuencia del primer modo de vibración (frecuencia fundamental o primer armónico), se pueden encontrar los restantes armónicos.

La frecuencia fundamental de la cuerda de una guitarra depende de la longitud de la cuerda, de su densidad lineal y de la fuerza que la tensa.
Cuando se afina una guitarra se modifica la tensión de las cuerdas. La longitud entre los extremos fijos de la cuerda se puede modificar presionando la cuerda. Las distintas cuerdas tienen distintos valores para la densidad, por eso son de distinto espesor.

El comportamiento de un electrón dentro del átomo se puede describir mediante una función de onda estacionaria, puesto que los electrones están confinados en dicho átomo. Estas condiciones de contorno originan que las funciones de onda de los electrones presenten nodos similares a los de las ondas estacionarias de una cuerda.
Los distintos niveles de energía de un átomo están cuantizados. La cuantización de las energías atómicas es el resultado de introducir las condiciones de contorno a las ondas estacionarias de los electrones.